enjoy your precious liffe: teknik minimalisasi

A. Teknik Minimasi

Teknik minimisasi dalam ilmu digital adalah suatu teknik yang digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan logika. Mengapa suatu persamaan logika perlu disederhanakan?

Suatu persamaan logika perlu disederhanakan agar jika persamaan logika itu kita buat menjadi sebuah rangkaian logika kita bisa ;

Mengurangi jumlah komponen yang digunakan

Mengurangi jumlah biaya yang diperlukan

Mempersingkat waktu untuk merangkai

Menghasilkan respon rangkaian lebih cepat karena delay rangkaian berkurang

Memperkecil dimensi fisik rangkaian

Menganalisa rangkaian dengan mudah

Berikut adalah contoh rangkaian yang belum diminimisasi dan rangkaian yang sudah diminimisasi.

Sebelum diminimisasi sesudah diminimisasi

Bagaimanakah cara menyederhanakan persamaan logika?

Berikut beberapa metoda untuk menyederhanakan persamaan suatu logika diantaranya ;

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Karnaugh Map

Quinne -Mc.Cluskey

1. Teorema Aljabar Boolean

Aljabar Boolean sangat penting peranannya di dalam proses perancangan maupun analisis rangkaian logika. Untuk memperoleh hasil rancangan yang berupa suatu persamaan logika yang siap diimplementasikan, diperlukan tahap pemberlakuan kaidah-kaidah perancangan. Salah satunya adalah aljabar Boolean. Aljabar Boolean merupakan aljabar yang diberlakukan pada variabel yang bersifat diskrit, dan oleh karena itu, aljabar ini cocok diberlakukan pada variabel yang ada pada rangkaian logika. Terdapat 2 jenis teorema aljabar Boolean yakni teorema variabel tunggal dan teorema variabel jamak. Setiap teorema baik yang bersifat tunggal maupun jamak selalu memiliki teorema rangkapnya.

a. Sifat Idempoten (sama)

▬

b. Sifat Absorpsi (menghilanghkan)

▬

c. Teorema Identitas

▬

(Jika

)

d. Teorema Komplemen

▬ Jika

, atau

▬ Jika

Maka

e. Teorema Involution

▬

f. Teorema Van De Morgan

▬

2. Postulate Huntington

a. Postulate 1

▬

b. Postulate 2

▬

c. Postulate 3

▬

d. Postulate 4

▬

e. Postulate 5

▬

3. Diagram Venn

Salah satu cara untuk memudahkan untuk melukiskan hubungan antara variable dalam aljabar boolean adalah dengan menggunakan diagram venn. Diagram ini terdiri dari sebuah segi empat yang didalamnya dilukis lingkaran-lingkaran yang mewakili variabelnya, satu lingkaran untuk setiap variabelnya. Masing-masing lingkaran itu diberi nama menurut variable yang diwakilinya. Ditentukan bahwa semua titik diluar lingkaran itu tidak dimiliki oleh variable tersebut. Misalnya lingkaran dengan nama A, jika dalam lingkaran itu dikatakan bernilai 1, maka diluar a dikatakan bernilai 0. untuk dua lingkaran yang bertumpang tindih, terdapat empat daerah dalam segiempat tersebut.

Diagram venn dapat digunakan untuk melukiskan postulate aljabar boole atau untuk membuktikan berlakunya aljabar Boolean. Gambar berikut menunjukan bahwa daerah yang dimiliki oleh AB terletak dalam lingkaran A sehingga A+AB = A.

Gambar berikut ,menunjukan hukum distributive A(B+C) = AB+AC

Dalam lingkaran itu tampak tiga lingkaran yang bertumpang tindih, satu untuk masing-masing variable A, B dan C. dengan demikian dimungkinkan untuk membedakan delapan daerah yang terpisah dalam diagram venn dengan variable itu. Dalam hal ini hokum distributiv dibuktikan dengan menunjukan bahwa daerah yang memotong lingkaran A dengan daerah yang meliputi B atau C adalah daerah yang sama yang dimiliki oleh AB atau A.

4. Karnaugh Map

Aturan penyederhanaan persamaan logika dengan K-map ;

a. Untuk persamaan logika yang terdiri dari n variable diperlukan K-map dengan 2ⁿ kotak. Penomoran kotak berurutan berdasarkan kode gray.

b. Memasukan data dari truth table ke dalam K-map

c. Penyederhanaan dilakukan dengan menggabungkan kotak-kotak yang bersebelahan dengan anggota sebanyak 2^m kotak dan formasi kotak membentuk segi empat ( 0 ≤ m ≤ n ).

d. Setiap kelompok dalam K-map akan membentuk satu suku dalam persamaan hasil penyederhanaan, dan jumlah variabel yang terkandung dalam suatu suku tergantung kepada jumlah kotak/daerah dalam suatu kelompok

e. Dalam K-map dengan n variabel, suatu kelompok yang memiliki 2^m kotak merupakan suatu suku dengan (n-m) variabel.

f. Jumlah kelompok (group) dalam suatu K-map harus dibuat seminimal mungkin.

g. Jumlah anggota (kotak) dalam suatu kelompok harus dibuat semaksimal mungkin

h. Proses pengelompokan dilakukan sampai seluruh kotak yang berlogik 1 tergabung dalam pengelompokan.

Don’t care adalah Kombinasi input yang tidak pernah digunakan, tidak dipakai dalam sistem.

Contoh:

Don’t care pada K-map 3 variabel (8 kombinasi warna input tetapi hanya 5 warna yang digunakan)

d = don’t care

Don’t care boleh dibuat logik 1 atau logik 0 tergantung pada posisi yang menguntungkan

Pada M-map diatas nilai d lebih menguntungkan jika berlogik 1

5. Metoda Quine - Mc. Cluskey

Untuk menyederhanakan suatu persamaan logika empat variable, K-map memang metode yang paling efektif. Akan tetapi jika persamaan itu lebih dari empat variable metode ini akan mengalami kesulitan. Metode Quine Mc. Cluskey adalh salah satu cara yang memungkinkan untuk menyederhanakan suatu persamaan logika lebih dari empat variable.

Berikut langkah-langkahnya ;

Bila diberikan persamaan logika

a. Nyatakan masing-masing unsur minterm kedalam kode biner

0 = 0000

3 = 0011

7 = 0111

8 = 1000

9 = 1001

13 = 1011

b. Tentukan jumlah logik 1 dalam suatu angka biner sebagai indeks dari angka. Kumpulkan semua angka biner yang berindeks sama menjadi satu kelompok pada tabel 1

0 = 0000 → jumlah logik 1 = 0

3 = 0011→ jumlah logic 1 = 2

7 = 0111→ jumlah logic 1 = 3

8 = 1000 → jumlah logic 1 = 1

9 = 1001→ jumlah logic 1 = 2

13 = 1011→ jumlah logic 1 = 3

c. Bandingkan antara tiap unsur mulai dari indeks terkecil dengan tiap unsur dari indeks sesudahnya. Nilai unsur dari indeks pertama harus lebih kecil dari nilai unsur indeks sesudahnya. Apabila terdapat selisih 2ⁿ maka boleh digabung. Langkah ini akan menghasilkan kelompok baru.

d. Lakukan kembali langkah c sampai tidak ada lagi selisih 2ⁿ.

e. Tiap kelompok diberi nama.

f. Untuk penyelesaian, kita ambil satu nama yang mewakili tiap angka (a, b, c atau d). Pengambilan nama harus seminimal mungkin.

Sehingga akan didapat

= a + c + d

= 0000 + 0011 + 1001

= 1000 + 0111 + 1011

= -000 + 0-11 + 10-1

Sebagai contoh sederhanakan persamaan logika pada table kebenaran dibawah ini.

Maka rangkaian logikanya adalah

Persamaan diatas dapat disederhanakan dengan beberapa metode yang telah dijelaskan diatas.

o Dengan aljabar Boolean

o Dengan K-map

o Dengan diagram venn

Dari gambar disamping kita bisa lihat lingkaran A terisi oleh arsiran sedangkan lingkaran C tidak terisi oleh arsiran hanya sebagian yang terisi dan itupun sudah terwakili oleh lingkaran A. jadi